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title: 概率问题
description: 概率问题-数学应用题-上岸学堂
keywords: 概率问题,数学应用题,上岸学堂,行测,数量关系
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# 概率问题

### 一、等可能事件概率

$$P(A) = \frac{\text{满足条件情况数}}{\text{总情况数}} = \frac{m}{n}$$

可能出现的结果 $$n$$ 个，事件 $$A$$ 包含的结果 $$m$$ 个，那么概率 $$P(A) = \frac{m}{n}$$。


### 二、条件概率

$$P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
在事件 $$A$$ 发生 ($$P(A) > 0$$) 的前提下，事件 $$B$$ 发生的概率：

$$P(B/A) = \frac{\text{AB 同时发生的概率}}{\text{A 发生的概率}}$$
条件概率的变式。


**例**: 四颗糖，一颗巧克力味，一颗果味，两颗牛奶味，任意取出两颗，其中一颗是牛奶味，求另一颗糖也是牛奶味的概率？

两个都是牛奶味只有 1 种情况，但总情况不能算 $$C_2^2$$，因为其中一个是牛奶已限定，排除了果味 + 巧克力的情况，总情况是

$$C_4^2 = 5$$


### 三、对立事件 / 逆向思维

$$P(A) + P(\overline{A}) = 1$$
事件 $$A$$ 发生的概率与事件 $$A$$ 不发生的概率满足：对于一些比较复杂的概率问题，可以考虑利用该条件间接求解。


### 四、二项分布 / 独立重复实验

$$P_n(K) = C_n^k p^k (1 - p)^{n-k}$$


重复试验 $$n$$ 次，每次发生概率为 $$P$$，不发生概率为 $$1 - P$$，则 $$n$$ 次独立重复试验发生 $$k$$ 次的概率。

如 4 天中每天下雨概率为 0.6，求 4 天中仅有一天下雨的概率为

$$
P_n(1) = C_4^1 \times 0.6 \times (1 - 0.6)^{4-1} = C_4^1 \times 0.6 \times 0.4^3
$$


### 五、期望值

一种**平均思想**。通过多次实验，看满足情况的**平均概率**在哪个点。变量的输出值乘以概率的总和。如每次抽奖中的概率低，抽取 $$n$$ 多次，看中奖概率集中在哪个点，即平均下来的概率。

如果 $$X$$ 是一个离散的随机变量，输出值为 $$X_1, X_2, \cdots X_n$$，输出值相应的几率为 $$P_1, P_2, \cdots P_n$$ (几率为 1)，那么期望值 

$$E(X) = X_1 P_1 + X_2 P_2 + \cdots + X_n P_n$$


**数学期望**: 概率论中数学期望是指实验中，每次可能结果的概率 $$x$$ 其结果的总和。


### 六、平均分组

考得少。$$mn$$ 个元素平均分成 $$n$$ 组，每组 $$m$$ 个，有

$$C_{mn}^m C_{mn-m}^m C_{mn-2m}^m \cdots C_m^m \times C_m^m \div n!$$种。

例：6 个元素平均分成 3 组，每组 2 个，共有

$$C_6^2 C_4^2 C_2^2 / 3!$$



### 七、几何模型

关键词：会面性问题，样本个数无数多个。



### 八、圆周排列

$$n$$ 个人围一圈，有 $$A_{n}^{n-1}$$ 种排列方法。


1. **多个对象捆绑**做相同选择，固定参照对象，以一个对象为标准。

2. **易错点**: 两个一样的东西组合，不分顺序的情况下，一定有一次重复，总情况数一定要减掉重复的。

## 例题

**例 1**: 
有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在
要用这架天平把300克味精平均分成3份，那么至少需要称多少次？ 

- A. 3次                    
- C. 5次                     
- B. 4次 
- D. 6次 

<BlurredAnswer>
方法1，任取两颗，共$$C_4^2 = 6$$种组合；其中一颗是牛奶味，则取出的两颗
糖不可能为“巧克力、果味”这种组合，此时还有5种组合：牛奶1+苹果，
牛奶1+巧克力，牛奶2+苹果，牛奶2+巧克力，牛奶1+牛奶2；取另一颗也是
牛奶味，只有1种情况，可能性为1/5。C。 
方法2，4颗糖组队，C4
 2=6种，去掉苹果+巧克力，剩5种，即1/5。C。
</BlurredAnswer>  

**例 2**: 
某单位端午节3天假期安排甲、乙、丙、丁4人值班。
端午节当天上、下午各安排一个人值班，另外两天每天安排一个人，每人只
值班一次。则乙被安排在端午节当天值班的概率是：

- A.1/24                
- C.1/3                 
- B.1/12       
- D.1/2 

<BlurredAnswer>
解法1：以单一主体为对象，只看乙可选的所有情况和满足条件的情
况。 
乙值班共有4种情况：端午上午、端午下午、第二天、第三天。乙在端
午当天值班情况有2种，则端午当天值班概率为 $$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ **D**   

解法2：以所有主体为对象，所有人排列求概率。
（1）端午节值班有4种情况：端午节上午、端午节下午、第二天、第三
天。 
（2）四个人值班总方法数$$A_4^4 = 24$$种；乙在端午上午或下午值班方法数
$$A_2^1 = 2$$ 种，剩余甲丙丁3人值班情况数为$$A_3^3 = 6$$种。乙端午值班概率为 $$\frac{2 \times 6}{24} = \frac{1}{2}$$ **D**
</BlurredAnswer>  

**例 3**: 
某商场搞抽奖促销，限每人只能参与一次，活动规
则是：一个纸箱里装有5个大小相同的乒乓球，其中3个是白色2个是红
色，参与者从中任意抽出2个球，如果两个都是白色可得抵用券100元，一
白一红可得抵用券200元，两个都是红色可得抵用券400元。若小李和小林
两人分别参加抽奖，那么两人获得抵用券之和不少于600元的概率是多少？

- A. 0.12                   
- C. 0.13                   
- B. 0.22       
- D. 0.30 

<BlurredAnswer>
**解析**: 两人券不少于 600 的情况：

1. 一人 200，一人 400，概率 $$P = \frac{C_5^3 C_5^2}{C_5^5} = \frac{12}{100}$$;

2. 两人均 400，$$P = \frac{C_5^2 C_5^2}{C_5^5} = \frac{1}{100}$$。不少于 600 概率 = $$\frac{12}{100} + \frac{1}{100} = 0.13$$。**C**。

</BlurredAnswer>  


**例 4**: 
A、B两地间有三种类型列车运行，其中高速铁路动车
组列车每天6车次，普通动车组列车每天5车次，快速旅客列车每天4车
次。甲、乙两人要同一天从A地出发前往B地，假设他们买票前没有互通信
息，而且火车票票源充足，问他们买到同一趟列车车票的概率有多大？

- A. 小于10%                     
- C. 20%到25%之间                
- B. 10%到20%之间    
- D. 25%到30%之间

<BlurredAnswer>
**解析**: 甲买定一趟车票后，乙买同一趟车票的概率为：

$$\frac{1}{6 + 5 + 4} = \frac{1}{15} < 10\%$$ **A**

或者
$$P = \frac{\text{满足}}{\text{总情况}} = \frac{15}{15 \times 15} = \frac{1}{15}$$
或者一共 15 趟车，两人同一辆的情况只有一种，即 $$P = \frac{1}{15}$$。
</BlurredAnswer>  


**例5 **: 
某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相
同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

- A.高于20％                  
- C.正好为20％                
- B.高于15％但低于20％    
- D.不高于15％ 

<BlurredAnswer>

**解析**:

**方法 1**: 固定参照对象，小张先选，哪个位置都可，概率 1；小李要和小张同排，共有 39 个位可选，但同排只剩 7 个位，所以同一排概率是：$$\frac{7}{39}$$


**方法 2**: 40 个座位选 2 个，共 $$C_{40}^2$$ 种；两人同一排 8 个座位选 2 个有 $$C_8^2$$ 种，5 排选一排 $$C_5^1 = 5$$，

$$
P = \frac{5 \times C_8^2}{C_{40}^2} = \frac{7}{39} \approx 18\%
$$

**B**。

</BlurredAnswer>  

**例6**: 
一道多项选择题有A、B、C、D、E五个备选项，要求
从中选出2个或2个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对
这道题的概率是：  

- A.1/5                    
- C.1/26                   
- B. 1/21       
- D. 1/31 

<BlurredAnswer>


**方法 1**: ※对立思想，选项入手，**每个选项有选和不选两种**，$$2^5$$。错误的有选一种和不选，5 个里面任意一个不选有 5 种，全不选有 1 种，结果为：

$$
2^5 - 5 - 1 = 26
$$

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**方法 2**: **正确选项只能有 1 种**。总情况数即为猜测正确的情况，包含多种情况：（错以为分子是 $$C_5^1$$，每个选项都有可能正确）

1. 若猜测正确答案为 2 个选项：则有 $$C_5^2$$ 种情况；
2. 若猜测正确答案为 3 个选项：则有 $$C_5^3$$ 种情况；
3. 若猜测正确答案为 4 个选项：则有 $$C_5^4$$ 种情况；
4. 若猜测正确答案为 5 个选项：则有 $$C_5^5$$ 种情况。

根据公式，概率 $$P = 1 \div (C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5) = 1 / 26$$。**C**。

</BlurredAnswer>  

**例7**: 
某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在
每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选
手？ 

- A. 0.768                 
- C. 0.896                 
- B. 0.800     
- D. 0.924 

<BlurredAnswer>
解析：甲获胜情况如下： 
（1）第一、第二局甲胜，第三局不用进行（不需再×概率），概率80%×
 80%=0.64； 
（2）第一局甲胜，第二局乙胜，第三局甲胜，概率80%×20%×80%=0.128； 
（3）第一局乙胜，第二局甲胜，第三局甲胜，概率20%×80%×80%=0.128。 
甲获胜的概率为0.64＋0.128＋0.128=0.896。C。 <br/>
方法2：排除AB，因甲每局都有80%的概率赢，则比赛次数越多，甲获胜
概率越大，无线接近于1，因此答案一定大于80%，AB错。 
</BlurredAnswer>  

**例8**: 
某企业将5台不同的笔记本电
脑和5台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学，每所学校分配5台电脑。
如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑数量均
不超过3台的概率为

- A.50/63                   
- C.25/63                   
- B.125/126 
- D.125/252 

<BlurredAnswer>
**解析**: 总情况数 $$C_{10}^5 C_5^5$$，平板电脑只有甲乙 2、3 和 3、2 两种情况，甲平板 2 笔记本 3，即 $$C_5^2 C_5^3$$；甲平板 3 笔记本 2，即 $$C_5^3 C_5^2$$，满足情况数：

$$
C_5^2 C_5^3 + C_5^3 C_5^2
$$

概率为：

$$
\frac{C_5^2 C_5^3 + C_5^3 C_5^2}{C_{10}^5 C_5^5} = \frac{50}{63}
$$

**A**。错选 **C**，注意分母不 $$\times A_2^2$$，因为总情况只是要分成两组，一组 5 台，不要求两组排列顺序。


**注意**:（如果先组合再排列，注意排列的是 $$C_m^n$$ 中的 $$n$$，一定是 $$n$$ 分不同情况有顺序，如果不区分，则不用 $$A_n^n$$）。

</BlurredAnswer>

**例9**: 
甲、乙等16人参加乒乓
球淘汰赛。每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两两比赛，胜者进入下一
轮。已知除甲以外，其余任意两人比赛时双方胜率均为50%。甲对乙的胜率为
0%，对其他14人的胜率均为100%。则甲夺冠的概率为： 

- A.3/4                        
- C.11/15                      
- B.8/11 
- D.225/256

<BlurredAnswer>
解析：16人淘汰赛，决出冠亚军需要比赛15场，一共有8对8，4对
4，2对2，1对1四轮比赛，每一轮甲只要遇到乙就必定输，一共是4次，遇
到乙的概率为4/15，则不遇到乙胜出概率为1-4/15=11/15，选C。
</BlurredAnswer>

**例9**: 
某公司职员小王要乘坐公司班车上
班，班车到站点的时间为上午7点到8点之间，班车接人后立刻开走；小王
到站点的时间为上午6点半至7点半之间。假设班车和小王到站的概率是相
等（均匀分布）的，那么小王能够坐上班车的概率为：  

- A.1/8                            
- C.1/2                            
- B.3/4  
- D.7/8 

<BlurredAnswer>
解析：小王能够坐上班车只能到站点早于或等于班车到的时间，阴影部
分面积为7/8，D。 
如图所示，横坐标代表班车时间，纵坐标代表小王到达时间。 
第一步，先画总面积。假设小王到的时间为y，班车到的时间为x，
6:30≤y≤7:30，7:00≤x≤8:00。围起来的面积为正方形面积。 <br/>
第二步，画符合要求的的面积。小王要想能赶班车，必然有则有y≤x 
(小王到达的时间要早于班车，人能等车，车不等人)。y≤x与正方形的交
集，即阴影部分，为能赶上班车的情况。斜线上x=y，斜线以下是y≤x。  <br/>
第三步，计算概率，即面积比例。将正方形分割为8个三角形，白色占
1/8，阴影部分占7/8，即小王坐上班车的概率为7/8。正确答案为D。
</BlurredAnswer>

**例10**: 
某单位工会组织桥牌比赛，共有8人报名，随机组
成4队，每队2人。那么小王和小李恰好被分在同一队的概率是: 

- A.$$\frac{1}{7}$$
- C.$$\frac{1}{21}$$
- B.$$\frac{1}{14}$$
- D.$$\frac{1}{28}$$

<BlurredAnswer>
Here is the extracted content in Markdown and LaTeX format:

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**解析**:

**方法 1**: 分步思维

先安排小王分到任意一队，概率 = 1；剩 7 人选小李与小王一队，概率 $$P = 1 \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$$。**A**。

或先安排小王从 8 个位置任选，概率 $$P = \frac{8}{8}$$，再安排小李选，还剩 7 个位置，但与小王同队只有 1 个位置 $$P = \frac{1}{7}$$，所以总的概率 $$P = \frac{8}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$$。



**方法 2**:

$$
P = \frac{\text{满足条件}}{\text{总情况数}}
$$

总情况先从 8 人选 2 人一组，再 6 选 2 一组，4 选 2 一组，最后 2 选 2 一组。满足情况条件为小王小李一组，共 4 组 4 种情况，剩下 6 人在分组，6 选 2，4 选 2，2 选 2。

$$
P = \frac{4C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}
$$


**方法 3: 平均分组**

8 人平均分成 4 组，总的情况数先将 8 人分 4 步排列成 4 组，即

$$
C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2
$$

，但此时分步做即相当于有顺序地排列，实际上不需要有顺序，则再除 $$A_4^4$$，有

$$
\frac{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_4^4}
$$

种；满足条件的情况将小王小李放同一组后，剩下 6 人平均分成 3 组再如此排列和除以重复的，有

$$
\frac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_3^3} = \frac{C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_4^4}
$$

种，$$P = \frac{1}{7}$$。

</BlurredAnswer>

**例11**: 
亲子班上5对母子坐成一圈，孩子都挨着自己的母
亲就坐，问所有孩子均不相邻的概率在以下哪个范围内？ 

- A.小于5%                  
- C.10%-15%                 
- B.5%-10% 
- D.大于15% 

<BlurredAnswer>
**解析**: 捆绑法，每对母子看成一个整体，相当于 5 个元素围成一圈，圆周排列，共有

$$
A_4^4 \times (A_2^2)^5
$$

种情况；要求所有孩子均不相邻，则先排好 5 个母亲，然后让孩子位于**母亲的左侧或右侧**，只能都在左侧或都在右侧，不能交叉，共 2 种情况，情况数有 $$A_4^4 \times 2$$ 种。故所求概率为

$$
\frac{A_4^4 \times 2}{A_4^4 \times (A_2^2)^5} = 6.25\%
$$

**B**。

**拓展**: $$n$$ 个人围一圈，有 $$A_{n-1}^{n-1}$$ 种排列方法。

</BlurredAnswer>

**例12**: 
商场以摸奖的方式回馈顾客，箱内有5个乒乓球，
其中1个为红色，2个为黄色，2个为白色，每位顾客从中任意摸出一个球，
摸到红球奖10元，黄球奖1元，白球无奖励，则一位顾客所获奖励的期望值
为： 

- A.10                  
- C.2                   
- B.1.2      
- D.2.4

<BlurredAnswer>
解析：5个球摸到红球概率P1=1/5，摸到黄球概率P2=2/5，故所获奖励
的期望值为10×1/5+1×2/5+ 0×2/5=2.4。D。 <br/>
拓展：概率论中数学期望是指实验中每次可能结果的概率乘以其结果的
总和。
</BlurredAnswer>